miércoles, 27 de noviembre de 2013

Ejercicio practico sobre el Clima de villavicencio..

Ejercicio

Construir un modelo del clima de la Ciudad de Villavicencio y simular usando el método de Cadenas de Markov, el clima de los siguientes seis meses.



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Cadenas de Markov teoria

Introducción
Un proceso o sucesión de eventos que se desarrolla en el tiempo en el cual el resultado en cualquier etapa contiene algún elemento que depende del azar se denomina proceso aleatorio o proceso estocástico. Por ejemplo, la sucesión podría ser las condiciones del tiempo en Paraná en una serie de días consecutivos: el tiempo cambia día a día de una manera que en apariencia es algo aleatoria. O bien, la sucesión podría consistir en los precios de las acciones que cotizan en la bolsa en donde otra vez interviene cierto grado de aleatoriedad.

Un ejemplo simple de un proceso estocástico es una sucesión de ensayos de Bernoulli, por ejemplo, una sucesión de lanzamientos de una moneda. En este caso, el resultado en cualquier etapa es independiente de todos los resultados previos (esta condición de  independencia es parte de la definición de los ensayos de Bernoulli). Sin embargo, en la mayoría de los procesos estocásticos, cada resultado depende de lo que sucedió en etapas anteriores del proceso. Por ejemplo, el tiempo en un día determinado no es aleatorio por completo sino que es afectado en cierto grado por el tiempo de días previos. El precio de una acción al cierre de cualquier día depende en cierta medida del comportamiento de la bolsa en días previos.

El caso más simple de un proceso estocástico en que los resultados dependen de otros, ocurre cuando el resultado en cada etapa sólo depende del resultado de la etapa anterior y no de cualquiera de los resultados previos. Tal proceso se denomina proceso de Markov o cadena de Markov (una cadena de eventos, cada evento ligado al precedente) Estas cadenas reciben su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov (1856-1922). Como mencionamos antes, estas cadenas tiene memoria, recuerdan el último evento y eso condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esto justamente las distingue de una serie de eventos independientes como el hecho de tirar una moneda. Este tipo de proceso presenta una forma de dependencia simple, pero muy útil en muchos modelos, entre las variables aleatorias que forman un proceso estocástico. Se utilizan, por ejemplo, para analizar patrones de compra de deudores morosos, para planear necesidades de personal, para analizar el reemplazo de un equipo, entre otros.





Matriz de transición
Al trabajar con cadenas de Markov, a menudo es útil pensar la sucesión de ensayos como experimentos efectuados en cierto sistema físico, cada resultado dejando a este sistema en cierto estado. Por ejemplo, consideremos una sucesión de elecciones políticas en cierto país: el
sistema podría tomarse como el país mismo y cada elección lo dejaría en cierto estado, es decir en el control del partido ganador. Si sólo hay dos partidos políticos fuertes, llamados A y B, los que por lo regular controlan el gobierno, entonces podemos decir que el país se encuentra en el estado A o B si el partido A o B ganara la elección. Cada ensayo (o sea cada elección), coloca al país en uno de los dos estados A o B. Una sucesión de 10 elecciones podría producir resultados tales como los siguientes:
A, B, A, A, B, B, B, A, B, B
La primera elección en la sucesión deja en el poder al partido A, la segunda fue ganada
por el partido B, y así sucesivamente, hasta que la décima elección la gane el partido B.
Supongamos que las probabilidades de que el partido A o B ganen la próxima elección son determinadas por completo por el partido que está en el poder ahora. Por ejemplo podríamos tener las probabilidades siguientes:
• Si el partido A está en el poder, existe una probabilidad de ¼ que el partido A ganará la próxima elección y una probabilidad de ¾ de que el partido B gane la elección siguiente.
• Si el partido B está en el poder, hay una probabilidad de 1/3 de que el partido A gane la elección siguiente y una probabilidad de 2/3 que el partido B permanezca en el poder.
En tal caso, la sucesión de elecciones forman una cadena de Markov, dado que las probabilidades de los dos resultados de cada elección están determinadas por el  resultado de la elección precedente.  Lo descrito anteriormente puede representarse gráficamente usando la siguiente red:











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miércoles, 6 de noviembre de 2013

Ejercicios de Cadena de MARKOV

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

Problema de clima....
EJERCICIO 3

Tierra de oz


EJERCICIO 4

Cuadras con moneda como medio de predicción modelado




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viernes, 25 de octubre de 2013

Simulacion montecarlo

Simulación de Monte Carlo



I. CONCEPTO
La Simulación de Monte Carlo es una técnica que permite llevar a cabo la valoración de los proyectos de inversión considerando que una, o varias, de las variables que se utilizan para la determinación de los flujos netos de caja no son variables ciertas, sino que pueden tomar varios valores. Por tanto, se trata de una técnica que permite introducir el riesgo en la valoración de los proyectos de inversión.
La técnica de la simulación de Monte Carlo se basa en simular la realidad a través del estudio de una muestra, que se ha generado de forma totalmente aleatoria. Resulta, por tanto, de gran utilidad en los casos en los que no es posible obtener información sobre la realidad a analizar, o cuando la experimentación no es posible, o es muy costosa. Así, permite tener en cuenta para el análisis un elevado número de escenarios aleatorios, por lo que, se puede decir que hace posible llevar la técnica del análisis de escenarios al infinito ampliando la perspectiva de los escenarios posibles. De esta forma, se pueden realizar análisis que se ajusten en mayor medida a la variabilidad real de las variables consideradas. La aplicación de esta técnica se basa en la identificación de las variables que se consideran más significativas, así como las relaciones existentes entre ellas (aunque esto puede resultar realmente complejo), para explicar la realidad a estudiar mediante la sustitución del universo real, por un universo teórico utilizando números aleatorios.
La simulación de Monte Carlo data del año 1940, cuando Neuman y Ulam la aplicaron en el campo de la experimentación de armas nucleares. A partir de entonces, se ha demostrado que es una técnica que puede ser aplicada en campos de diversa índole, utilizándose por primera vez para el análisis de inversiones en el año 1964 por Hertz. Hay algunas aplicaciones informáticas específicas, como es el caso del programa "@Risk" de Palisade, o el "Cristal Bowl", que permiten tener en cuenta la correlación existente entre las variables, y realizar el análisis del riesgo en la valoración de proyectos de inversión utilizando la simulación de Monte Carlo.

II. METODOLOGÍA DE CÁLCULO
La aplicación del método de Monte Carlo para valorar inversiones plantea dos aspectos fundamentales; la estimación de las variables y la determinación del tamaño de la muestra.

1. La estimación de las variables
Para la aplicación de la simulación de Monte Carlo se han de seguir los siguientes pasos:
  • - En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemático que se va a utilizar, siendo en el caso de la valoración de proyectos de inversión los más habituales el Valor Actual Neto (VAN), y la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). Según el valor obtenido para estos métodos de valoración se tomará la decisión de si el proyecto es rentable y se lleva a cabo, o no.
    Z = f(x), donde "x" es la variable desconocida a simular
  • - A continuación habrá que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular (x). Es decir, aquellas que se consideran que no van a tomar un valor fijo, sino que pueden tomar un rango de valores por no tratarse de variables ciertas, así como las relaciones que existen entre ellas (por lo que sería deseable definir los coeficientes de correlación existentes entre las variables (posibilidad que ofrece el programa "@Risk"). Si no se tuvieran en cuenta dichas interrelaciones, y se simularan las variables de forma independiente, se estaría incurriendo en un error en los resultados obtenidos, y se reduciría la variabilidad de los resultados al tener lugar el efecto de compensación en la interacción de las variables.
  • - Una vez identificadas las variables que se van a simular, hay que determinar la función de densidad de probabilidad f(x) asociada a cada una de ellas.
  • - Posteriormente, se obtendrán las funciones de distribución asociadas a las variables (o variable).
  • - A continuación se procede a la generación de números aleatorios (números tomados al azar) comprendidos entre cero y uno. Estos números pueden obtenerse utilizando un ordenador, siendo necesarios tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por el número de simulaciones que se deseen realizar.
  • - Una vez se dispone de los números aleatorios, éstos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribución F(x) de las variables (o la variable) del modelo.
  • - El valor así calculado de "x" será el primer valor de la muestra simulada.
  • - Este proceso habrá de repetirse el número de veces necesario para poder disponer del número adecuado de valores muestrales.
  • - A continuación, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemático para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas. En el caso del análisis de proyectos de inversión en los que se utiliza como método de valoración el VAN, hay que tener en cuenta que la tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo, porque en caso contrario se estaría penalizando doblemente al proyecto de inversión, tanto en el numerador como en el denominador por el riesgo. No obstante, en contra de esta posición que es la que se utiliza habitualmente en la práctica empresarial, se encuentra la de los autores Brealey y Myers, quienes limitan la utilidad de la simulación de Monte Carlo a la mejor estimación de los flujos netos de caja, y proponen aplicar para el descuento de los mismos la tasa de descuento ajustada por el riesgo, y no la tasa libre de riesgo, porque consideran que hay un único VAN.
  • - Posteriormente, se agrupan y clasifican los resultados. Se comparan los casos favorables, con los casos posibles, y se agrupan por categorías de resultados.
  • - Para finalizar, se lleva a cabo el análisis estadístico y de inferencia sobre el comportamiento de la realidad, siendo interesante calcular la media, la varianza y la desviación típica. Por ejemplo, en la valoración de proyectos de inversión, es habitual llevar a cabo el análisis de la viabilidad de un proyecto de inversión analizando la probabilidad de que el Valor Actual Neto (VAN) sea positivo (P(VAN>0)), así como el análisis de sensibilidad con el objetivo de identificar aquellas variables que son consideradas críticas por tener mayor impacto sobre el VAN.

2. Estimación del tamaño de la muestra
Para determinar el tamaño de la muestra, se empezará utilizando un número no demasiado elevado de simulaciones, que se sustituirán en el modelo matemático seleccionado, y se calculará la media y la desviación típica correspondiente al mismo. A continuación, se irá ampliando el tamaño de la muestra hasta que la media y la desviación típica no varíen significativamente en relación con los resultados obtenidos con la muestra anterior.
Se pueden aplicar dos procedimientos:
  • - Procedimiento aditivo: se parte de un número inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizado. A continuación se procede a añadir un número de nuevas simulaciones equivalente al bloque inicial (n), de tal forma que ahora se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizando para ello un número de simulaciones que asciende a "2n". La nueva media y desviación típica así calculadas se comparan con las anteriores, repitiéndose el proceso hasta que la media y la desviación típica no diverjan en más de un 0,5 ó 1 por ciento. El inconveniente que presenta este método es que según se van añadiendo nuevos bloques de simulaciones, las simulaciones antiguas tienen mayor peso que las nuevas.
    Ejemplo:
    Paso 1: Tamaño del bloque de simulaciones "n".
    Paso 2: Tamaño del bloque de simulaciones "n+n = 2n". Si no hay convergencia, entonces paso 3, sino finalizar.
    Paso 3: Tamaño del bloque de simulaciones "2n+n = 3n". Si no hay convergencia, entonces paso 4, sino finalizar.
    Y así, sucesivamente hasta alcanzar la convergencia.
  • - Procedimiento multiplicativo: se parte de un número inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizado. A continuación se procede a añadir un número de nuevas simulaciones equivalente a las acumuladas hasta ese momento, de tal forma que ahora se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizando para ello un número de simulaciones que es el doble de las utilizadas en el paso anterior. La nueva media y desviación típica así calculadas se comparan con las anteriores, repitiéndose el proceso hasta que la media y la desviación típica no diverjan en más de un 0,5 ó 1 por ciento. De esta forma se soluciona el inconveniente presentado por el procedimiento anterior, dado que los nuevos bloques de simulaciones que se van agregando tienen el mismo peso que el existente en el paso anterior, por lo que la variabilidad del nuevo bloque de simulaciones tiene el mismo peso sobre el total que la del bloque anterior, siendo por tanto en un método más perfecto.
    Ejemplo:
    Paso 1: Tamaño del bloque de simulaciones "n".
    Paso 2: Tamaño del bloque de simulaciones "2xn = 2n". Si no hay convergencia, entonces paso 3, sino finalizar.
    Paso 3: Tamaño del bloque de simulaciones "2x2n = 4n". Si no hay convergencia, entonces paso 4, sino finalizar.
    Y así, sucesivamente hasta alcanzar la convergencia.

III. APLICACIÓN A UN CASO PRÁCTICO
Una empresa está analizando la posibilidad de llevar a cabo un proyecto de inversión que requiere una inversión inicial que puede oscilar entre los 10.000 y los 14.000 euros, siendo las probabilidades asociadas a cada uno de los posibles desembolsos iniciales las que aparecen recogidas en la siguiente tabla:
Desembolso inicialProbabilidad
10.000 €0,20
12.000 €0,45
14.000 €0,35
Además, se sabe que la duración del proyecto de inversión es de 4 años.
Se estima que el valor del primer flujo neto de caja puede tomar cualquier valor comprendido entre los 5.000 y los 9.000 euros, siendo equiprobables los valores intermedios. Los flujos netos de caja que se generan en los años sucesivos podrán oscilar entre un 15 por ciento por encima, o por debajo, del valor del flujo neto de caja del año anterior. Además, se sabe que la rentabilidad del activo libre de riesgo es del 10 por ciento.
Con estos datos se desea conocer la viabilidad del proyecto de inversión analizado según el método de valoración del Valor Actual Neto (VAN), utilizando para ello la técnica de simulación de Monte Carlo realizando un total de cinco simulaciones.
Solución:
- En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemático que se va a utilizar, que en este caso será el Valor Actual Neto (VAN).
Por tanto: Mostrar/Ocultar , donde i = 1..4
La tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo (10 por ciento).
- A continuación habrá que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular.
En este caso las variables que se van a simular son tres:
  • • El desembolso inicial del proyecto de inversión.
  • • El valor del primer flujo neto de caja.
  • • El valor del resto de flujos netos de caja.
- Posteriormente hay que determinar la función de densidad de probabilidad asociada a cada una de ellas.
- El desembolso inicial del proyecto de inversión: se trata de una variable discreta que sólo puede tomar los valores 10.000, 12.000 y 14.000, con unas probabilidades asociadas respectivamente del 20, 45 y 35 por ciento. 
Hallar la integral definida entre 0 y 1 de F(x)=Dx

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Generadores de números aleatorios Y pruebas


Números pseudoaleatorios
Un número pseudo-aleatorio es un número generado en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente. Las secuencias de números pseudo-aleatorios no muestran ningún patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, a pesar de haber sido generadas por un algoritmo completamente determinista, en el que las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado.
Los generadores de números pseudoaleatorios son ampliamente utilizados en campos tales como el modelado por computadora, estadística, diseño experimental, etc. Algunas de estas secuencias son lo suficientemente aleatorias para ser útiles en estas aplicaciones.
Una de las utilidades principales de los números pseudoaleatorios tiene lugar en el campo de la criptografía. Por ello se sigue investigando en la generación de dichos números, empleando por ejemplo medidores de ruido blanco o analizadores atmosféricos, ya que experimentalmente se ha comprobado que tienen una aleatoriedad bastante alta.
Asimismo, también destacan su uso en el llamado método de Montecarlo, con múltiples utilidades, por ejemplo para hallar áreas / volúmenes encerradas en una gráfica y cuyas integrales son muy difíciles de hallar o irresolubles; mediante la generación de puntos basados en estos números, podemos hacer una buena aproximación de la superficie /volumen total , encerrándolo en un cuadrado / cubo , aunque no lo suficientemente buena.
Un generador pseudoaleatorio de números (GPAN) es un algoritmo que produce una sucesión de números que es una muy buena aproximación a un conjunto aleatorio de números. La sucesión no es exactamente aleatoria en el sentido de que queda completamente determinada por un conjunto relativamente pequeño de valores iniciales, llamados elestado del GPAN. Si bien es posible generar sucesiones mediante generadores de números aleatorios por dispositivos mecánicos que son mejores aproximaciones a una sucesión aleatoria, los números pseudo-aleatorios son importantes en la práctica para simulaciones (por ejemplo, de sistemas físicos mediante el método de Montecarlo), y desempeñan un papel central en la criptografía.


Para la uniformidad
  • Bondad de ajuste o chi-cuadrada: X2
  • Bondad de ajuste Kolmogorov-Smirnov
Para la aleatoriedad o independencia
  • Corridas por arriba y por abajo del promedio
  • Corridas ascendentes y descendentes
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI CUADRADA.
Procedimiento:
1. Generar la muestra de números aleatorios de tamaño N.
2. Subdividir el intervalo [0,1] en n subintervalos.
3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F0 y calcular la frecuencia esperada FE de números aleatorios, la cual se obtiene dividiendo N/n.
4. Calcular el estadístico de prueba.
http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/mmicons/dibujo%202.9.1.gif
5. Comparar el valor calculado X02 contra el valor tabulado de la distribución X2, con (n-1) grados de libertad y una significancia ?. Si X02 es menor que X2(n-1),? entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.
EJEMPLO 4. Realizar la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada a la siguiente muestra de tamaño 30 de números aleatorios uniformes
0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55

INTERVALO
FE
FO
(FE-FO)2/FE
0.00 - 0.20
6
10
2.67
0.21 - 0.40
6
7
0.17
0.41 - 0.60
6
6
0.00
0.61 - 0.80
6
3
1.50
0.81 - 1.00
6
4
0.67
X20=5.01

Sea alfa= 5%. Tenemos (5-1) grados de libertad, es decir V=4. El valor en tablas de la distribución Ji cuadrada es:
X24.5% = 9.49
Como X02 es menor que X24.5% es decir; 5.01 es menor que 9.49. entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
Procedimiento
1. Generar una muestra de números aleatorios uniformes de tamaño N.
2. Ordenar dichos números en orden ascendente.
3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la siguiente 
expresión
http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/mmicons/dibujo%202.9.gif
Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector ordenado obtenido en el paso 2.
4. Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov del modo siguiente
Dn = máx | Fn (Xi) – Xi | para toda Xi

5. Si Dn es menor dalfa,n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de Dnha sido tabulada como una función de n y alfa para cuando Fn (x) = F0 (x).

EJEMPLO 5. Efectuar la prueba de Kolmogorov – Smirnov a la siguiente muestra de números aleatorios uniformes.
0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
Sustituyendo los valores en las fórmulas correspondientes se tiene que:
i
RNDi
F(RNDi)
RNDi- F (RNDi)
1
0.00
0.03
0.03
2
0.01
0.07
0.06
3
0.03
0.10
0.07
4
0.04
0.13
0.09
5
0.06
0.17
0.11
6
0.07
0.20
0.13
7
0.11
0.23
0.12
8
0.11
0.27
0.16
9
0.15
0.30
0.15
10
0.18
0.33
0.15
11
0.25
0.36
0.11
12
0.25
0.40
0.15
13
0.26
0.43
0.17
14
0.31
0.47
0.16
15
0.33
0.50
0.17
16
0.34
0.53
0.19
17
0.34
0.57
0.23
18
0.43
0.60
0.17
19
0.48
0.63
0.15
20
0.49
0.67
0.18
21
0.55
0.70
0.15
22
0.59
0.73
0.14
23
0.60
0.77
0.17
24
0.68
0.80
0.12
25
0.70
0.83
0.13
26
0.77
0.87
0.1
27
0.81
0.90
0.09
28
0.83
0.93
0.1
29
0.92
0.97
0.05
30
0.97
1.00
0.03
siguiendo con el paso 4
Dn = Max |RNDi – F(RNDi)| = 0.23
Comparamos el valor Dn (calculado) contra el valor en tablas de la distribución Kolmogorov-Smirnov con n = 30 y un nivel de significancia alfa = 5%, el cual es d30.5% = 0.242. como 0.23 es menor que 0.242, entonces, no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

CORRIDAS POR ARRIBA Y POR ABAJO DEL PROMEDIO
Procedimiento
Generar la muestra de tamaño N de números aleatorios.
Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesión binaria, según el criterio siguiente:
Si rj es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a rj el símbolo 0.
Si rj es mayor a 0.50 entonces asignarle a rj el símbolo 1.
La frecuencia esperada para cada longitud de corrida i, es:
http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/mmicons/dibujo%202.9.3.gif
EJEMPLO 6. Dada la siguiente muestra de tamaño 30 de números aleatorios, aplicar la prueba de corridas, para la independencia
0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
Comparando los números aleatorios según el criterio establecido, se obtiene la siguiente sucesión binaria. Leyendo de izquierda a derecha se agrupan los símbolos del mismo tipo para formar las corridas.
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
En la siguiente tabla se resume la información necesaria para el cálculo de la Ji-cuadrada
Longitud de corrida i
FE
FO
(FE-FO)2/FE
1
8.000
9
0.125
2
3.875
3
0.197
3
1.875
2
0.008
4
0.906
1
0.010
5
0.438
1
0.721

Como para las longitudes de corrida i = 2, 3, 4, 5; las frecuencias observadas son menores o igual a cinco, agrupamos estas longitudes de corridas en una sola longitud de corrida ? 2.
i
FE
FO
(FE-FO)2/FE
1
8
9
0.125
>=2
7.04
7
0.936
X02 = 1.061
El valor en tablas de X21.5%= 3.84; entonces no se puede rechazar la independencia de los números aleatorios.

CORRIDAS ASCENDENTES Y DESCENDENTES
Procedimiento
1. Generar la muestra de tamaño N de números aleatorios.
2. Construir la sucesión binaria de acuerdo al siguiente criterio:
Si rj es menor o igual a rj+1 entonces asignarle a rj el símbolo 0.
Si rj es mayor que rj+1 entonces asignarle a rj el símbolo 1.
3. Con base en la distribución X2, efectuar la prueba, donde la frecuencia esperada de las longitudes de corrida i se calculará con:
http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/mmicons/dibujo%202.9.4.gif
EJEMPLO 7. Aplicar la prueba de las corridas ascendentes y descendentes a la muestra de números aleatorios del ejemplo anterior. Compararemos a los números por fila, pero es indistinto hacerlo por columna.
0.15
0.31
0.81
0.48
0.01
0.60
0.26
0.34
0.70
0.31
0.07
0.06
0.33
0.49
0.77
0.04
0.43
0.92
0.25
0.83
0.68
0.97
0.11
0.00
0.18
0.11
0.03
0.59
0.25
0.55
ahora la sucesión binaria es
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0

obsérvese que la última celda se deja en blanco, pues no hay con que número comparar. (aquí N = 29)
Longitud de corrida i
FE
FO
(FE-FO)2/FE
1
11.500
11
0.020
2
5.083
5
0.001
3
1.400
2
0.257
4
0.292
-
5
0.005
-

i
FE
FO
(FE-FO)2/FE
1
11.500
11
0.020
>=2
6.483
7
0.004
X02 = 0.024
como el valor calculado de 0.024 es menor que el valor en tablas de Ji-cuadrada X21.5%= 3.84, no se puede rechazar la independencia de los números aleatorios.

  APLICACIÓN DE LAS PRUEBAS PARA VERIFICACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS









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